Für den Verkauf an Privat sieht die Sache etwas anders aus: Es ist dann nicht so, dass mit dem Verkauf Deine abgeschlossene (und ggf. vorausbezahlte) Versicherung an den Käufer Deines PKW übergeht und dieser sie bei "Nichtgefallen" kündigen müsste. Das wäre vertragsrechltich auch gar nicht ohne separate Vereinbarung mit dem Käufer möglich (er hat ja keinen Vertrag mit der Versicherung geschlossen). Hier bleibt aber - anders als bei Verkauf an einen "Gewerblichen" der (von dir bezahlte) Versicherungsschutz für das Fahrzeug für die gesamte bezahlte Zeit erhalten - die Leistungspflicht besteht dann einfach gegenüber dem neuen Halter weiter, auch ohne dass dieser in den Versicherungsvertrag eintritt.
Laut den Versicherungsbedingungen (GVB 402/01) Ziffer XIII/3 geht der Vertrag bei Veräußerung auf den (privaten) Erwerber über und die Veräußerung ist der Versicherung unverzüglich in Textform anzuzeigen. Viel mehr steht jetzt zu einem Privatverkauf nicht in den Bedingungen drin.
Nun bin ich kein Jurist, aber ich lese den Text wie folgt: Der Verkäufer muss dem privaten Erwerber zwingend über das Bestehen so einer Garantieverlängerung aufgeklären. Mit Abschluss des Kaufvertrages hat der Erwerber somit Kenntnis von der Garantieverlängerung und tritt somit in den Vertrag ein. Damit verbunden ist die Übernahme der monatlichen Raten (wenn Ratenzahlung vereinbart war) durch den Erwerber.